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測度論
測度論は、
数学の実解析における一分野で、
測度とそれに関連する概念を研究する。
ここで測度とは面積、体積、
個数といった大きさに関する
概念を精緻化・一般化したものである。
よく知られているように積分は
面積と関係があるので、
積分も測度論を基盤にして
定式化・研究できる。
面積
面積とは、平面内の、
あるいは曲面内の図形の大きさ、
広さ、の量である。
立体物の表面の面積の合計を
特に表面積と呼ぶ。
平面図形については、
2次元空間内の部分集合の
定義関数を積分して面積を定義する。
直感的にはまず長方形の面積を定義し、
一般の図形に対しては
小さな長方形の集まりで
その図形を近似した極限を
以って面積を定義する。
曲面については、定義関数の
面積分のほか、曲面を小さな
平面図形の集まりで
その図形を近似した極限に
よって面積を定義することができる。
表面積
表面積は、
立体図形の表面の面積。
直感的には、立体図形を水中に
入れたとき濡れる部分の
面積のことである。
ユークリッド空間で、
図形を a倍に拡大すると、
体積は a3倍になるのに対し、
表面積は a2倍になる。
ただし、3軸それぞれの方向に
a. b, c倍に拡大した場合は、
体積は abc倍になるが、
表面積の変化は図形による。
せん断成分のある変形に対しては、
体積は一定だが表面積は
一般に異なる。たとえば、
底面が合同で高さが同じ
平行六面体と直方体は、
体積が等しいが表面積は異なる。
表面積は、一般には積分を
使って計算される。
対称性の高い図形のみ、
初等数学で求まる公式が得られる。
楕円体のように、体積は簡単に
求まるが表面積を求めるには
複雑な計算が必要な図形もある。
